Satu putaran Martingale ideal tanpa pembatasan waktu dan kredit dapat dirumuskan secara matematis seperti yang ditunjukkan di bawah ini. Biarkan lemparan koin urutan diwakili oleh X 0, X 1, … variabel acak independen, yang masing-masing jam dengan probabilitas p dan t dengan probabilitas q = 1-p. Misalkan n waktu terjadinya H pertama, dalam kata lain, X 0, X 1, …, XN-1 = T dan XN = x. Jika koin tidak mengungkapkan H, kita menulis N = ∞. N – ini sendiri merupakan variabel acak karena tergantung pada hasil lemparan koin secara acak.

Pada N pertama – melemparkan sebuah koin 1, setelah strategi Martingale pemain kehilangan 1, 2 ,…, 2N-1 unit, mengumpulkan total kerugian 2N – 1.

N-taruhan adalah kemenangan untuk unit 2N, mengakibatkan laba bersih per unit untuk lemparan pertama n.

Sebagai contoh, anggaplah bahwa empat lemparan koin pertama, T, T, T, H Membuat N = 3. Telah membuat kehilangan 1, 2 dan 4 unit di tiga lemparan pertama, hilangnya lengkap 7 unit, dan kemudian memenangkan 8 poin di tempat keempat jatuh dengan laba bersih per unit. Selama koin menunjukkan ujung kepala, pemain rate adalah menyadari manfaat.

Berapakah probabilitas bahwa N = ∞, yaitu, bahwa koin tidak akan menunjukkan kepala Anda?

Jelas, ini tidak dapat lebih besar dari probabilitas bahwa lemparan-lemparan k pertama semua T; probabilitas ini qk. Jika q = 1, integer non-negatif hanya kurang dari atau sama dengan qk adalah k-nilai adalah nol. Dari ini berikut bahwa n terbatas dengan probabilitas 1, oleh karena itu, dengan probabilitas 1, koin akhirnya akan menangkap pemimpin dan membuat laba bersih per unit.

Properti ini adalah versi ideal dari tagihan Martingale untuk meningkatkan ide.

Dalam prakteknya, versi ideal hanya dapat diperkirakan, karena dua alasan. Kredit tanpa batas untuk membiayai kerugian astronomi mungkin selama ekor panjang tidak tersedia, dan ada batas flip koin, yang dapat dieksekusi dalam periode waktu yang terbatas, menghalangi kemampuan untuk bermain cukup lama untuk mengamati ekor yang sangat panjang.

Sebagai contoh, telah dibuat tersedia untuk kekayaan atau kredit, 243 (sekitar 9 triliun) unit, kira-kira ukuran utang nasional AS saat ini dalam dolar AS. Dengan keberuntungan sangat banyak pemain tidak mampu untuk kalah dalam 42 lemparan pertama, tetapi tidak dapat ditanggung oleh hilangnya 43. Probabilitas kalah dalam 42 lemparan pertama -, q42 yang akan sangat sedikit, jika ekor yakin hampir setiap taruhan. Dalam kasus Fair, di mana q = 1 / 2, kita bisa berharap untuk menunggu sesuatu pada urutan 242 kali lemparan berturut-turut sebelum menonton 42 ekor lempar koin pada tingkat satu tembakan per detik, maka akan membutuhkan sekitar 279,000 tahun.

Versi dari permainan mungkin menarik bagi kedua pemain. Pemain dengan kebahagiaan yang Anda dapat mengharapkan untuk melihat kepala dan mendapatkan satu unit rata-rata setiap dua kali pelemparan, atau dua detik, sesuai dengan pendapatan tahunan sekitar 31.600.000 unit sebelum bencana (42 ekor) terjadi. Hal ini hanya 0,0036 persen, pengembalian keberuntungan beresiko. Pemain lain hanya bisa mengandalkan hilangnya stabil 31.600.000 unit per tahun sebelum kekalahan dari jackpot yang sangat besar, mungkin sesuatu seperti 279,000 tahun, namun ada periode lebih lama daripada mata uang apapun. Jika q> 1 / 2, versi dari permainan ini juga menguntungkan bagi pemain pertama dalam arti bahwa ia akan memiliki nilai yang diharapkan negatif.

Ketidakmungkinan kemenangan dalam jangka panjang, mengingat ukuran terbatas taruhan atau membatasi jumlah uang atau kredit, teorema terbukti berhenti tambahan.